“D’altra parte, non è possibile scomporre un cubo in due cubi [..] o, in generale, ogni potenza, eccetto il quadrato, in due potenze con lo stesso esponente. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina” [1].
Questa è la famosa frase che Pierre de Fermat, magistrato e matematico francese, scrisse ai margini della sua copia dell’Arithmetica di Diofanto nel 1637, inaugurando così uno dei misteri matematici più impenetrabili della storia della matematica, rimasto irrisolto per oltre 350 anni e sfuggito a ogni tentativo di dimostrazione.
Fermat non ricevette mai un’istruzione universitaria in matematica e fu in gran parte autodidatta. Era però abilissimo nel proporre enigmi matematici di cui spesso non dava la soluzione e l’appellativo “ultimo” è stato dato perché questo fu l’ultimo dei problemi lasciati da Fermat ad aver ricevuto una risposta. Tra i vari traguardi raggiunti da Fermat ci fu l’intuizione e l’applicazione di alcune idee alla base del calcolo differenziale, tredici anni prima della nascita di Isaac Newton; condivise inoltre con il francese Blaise Pascal la paternità della teoria del calcolo delle probabilità. Era affascinato dall’opera degli antichi matematici greci e studiò approfonditamente le loro opere, cercando sempre di generalizzare i loro risultati. Purtuttavia, il suo più grande interesse era rivolto alla teoria dei numeri e fu in questo campo che raggiunse i suoi più grandi successi.
Le radici di questo quesito affondano nella civiltà dell’antica Grecia. Nel VI secolo a.C. Pitagora da Samo fondò la Scuola Pitagorica, un sodalizio di circa 600 seguaci. Il nome di Pitagora è indissolubilmente legato al fondamentale teorema che porta il suo nome. Sin dall’antichità era nota l’esistenza di terne di numeri interi che soddisfano l’equazione di Pitagora, chiamate terne pitagoriche.
Queste conoscenze, insieme ai successivi sviluppi della matematica greca, furono raccolte e sviluppate nei secoli successivi. Tra le opere più importanti vi fu l’Arithmetica del matematico greco Diofanto di Alessandria, un capolavoro matematico composto da numerosi problemi con relative soluzioni, considerato una delle opere fondamentali della matematica antica insieme agli Elementi di Euclide. Per nostra fortuna questo capolavoro sopravvisse attraverso la trasmissione dei manoscritti e arrivò fino all’età moderna.
Nel 1621 l’Arithmetica fu tradotta in latino dal matematico francese Claude-Gaspar Bachet de Méziriac. Ed è proprio quella traduzione che finì sulla scrivania di Pierre de Fermat. Nel libro II Diofanto tratta l’equazione di Pitagora e le relative terne pitagoriche, ma Fermat si spinse un po’ più in là: cosa accade se si aumenta di un grado l’esponente dell’equazione? Cioè, l’equazione x^3+y^3=z^3 ammette ancora soluzione? E se al posto di tre si considera un grado qualsiasi n? L’equazione x^n+y^n=z^n ammette soluzioni per n maggiore di 2? E annotò la frase testé citata.
Quest’ultima frase tormentò intere generazioni di matematici. Fermat abbozzò un’idea di dimostrazione per il caso n=4, usando il metodo della discesa infinita, un particolare metodo dimostrativo basato sull’idea che l’esistenza di una soluzione avrebbe portato necessariamente a una soluzione più piccola, generando una contraddizione.
Fermat spirò nel 1665 e i suoi tesori matematici rischiavano di andare perduti per sempre; fortunatamente il figlio maggiore, Clément-Samuel, raccolse tutti gli appunti del padre per poi pubblicare, nel 1670, una nuova edizione dell’Arithmetica di Diofanto. Questa volta però erano annotate anche le quarantotto osservazioni fatte da Pierre. Purtroppo nessuna di queste affermazioni presentava una completa dimostrazione o spiegazione; erano “avvincenti intuizioni logiche che lasciavano i matematici nel dubbio se Fermat avesse avuto le prove, ma rappresentavano anche una sfida.” [2]
I primi passi in avanti vennero fatti dal genio svizzero Leonhard Euler che, sfruttando l’idea della discesa infinita di Fermat, riuscì a dimostrare l’impossibilità di una soluzione per n=3 nel 1753, più di un secolo dopo la fatidica annotazione. Per riuscire in questa impresa Euler utilizzò anche i numeri immaginari, che ancora oggi sono largamente usati nella matematica pura, ed era estremamente convinto che con il loro ausilio sarebbe arrivato presto a una soluzione generale.
Dopo il passo in avanti di Euler non ci furono grandi ulteriori progressi. Bisogna aspettare una giovane e talentuosa matematica francese, Sophie Germain. Ella si occupava di teoria dei numeri e, come chiunque si interessi di questo campo della matematica, si imbatté presto nel Teorema di Fermat. Nel corso delle sue ricerche riuscì a dimostrare importanti risultati legati al teorema, in particolare per alcuni casi riguardanti particolari numeri primi, successivamente chiamati numeri primi di Germain. Un numero primo p è detto primo di Germain se è tale che anche 2p+1 è primo.
Germain, usando inizialmente lo pseudonimo “Monsieur Le Blanc”, entrò in contatto con Carl Friedrich Gauss. Quando fu costretta a rivelare la propria identità, scrisse:
Non sono del tutto sconosciuta come potreste credere, ma temendo il ridicolo che si sarebbe scatenato in quanto scienziata donna, in passato ho usato il nome di M. LeBlanc nelle mie comunicazioni con voi. ... Spero che le informazioni che oggi vi ho confidato non mi privino dell’onore che mi avete accordato sotto un nome preso in prestito...
Quando Gauss ricevette questa lettera, la elogiò ancora di più. Scrisse:
“Ma come descrivervi la mia ammirazione e il mio stupore nel vedere il mio stimato corrispondente, il signor LeBlanc, trasformarsi in questa illustre figura [Sophie Germain], che offre un esempio così brillante di ciò che trovo difficile da credere. Il gusto per le scienze astratte in generale, e soprattutto per i misteri dei numeri, è estremamente raro; se ne rimane stupiti; il fascino incantevole di questa sublime scienza si rivela solo a coloro che hanno il coraggio di approfondirla.” [3]
Nella prima metà dell’Ottocento l’Accademia delle Scienze francesi offrì una serie di ricche ricompense a chiunque fosse stato in grado di dimostrare definitivamente il Teorema di Fermat. Il 7 marzo del 1816 un amico scrisse a Gauss per comunicargli questa notizia, sottolineando che, a parer suo, nessun altro matematico aveva competenza e capacità paragonabili alle sue; la lettera si concludeva con: “Mi sembra giusto, caro Gauss, che lei incominci a occuparsi di questa cosa”. Ma Gauss non si lasciò tentare e rispose due settimane dopo dicendo:
“Le sono molto obbligato per la notizia, ma le confesso che il Teorema di Fermat, come proposizione isolata, presenta scarso interesse per me. Potrei facilmente enunciare un gran numero di simili proposizioni che non potremmo né dimostrare né confutare”. [1]
Successivamente il metodo escogitato dalla Germain fu usato da Dirichlet e Legendre per la dimostrazione di alcuni casi particolari del Teorema di Fermat. Nel 1825 questo approccio fu utilizzato, in maniera del tutto indipendente, dal matematico tedesco Peter Gustav Dirichlet e dal francese Adrien-Marie Legendre per dimostrare che il caso n=5 non aveva soluzione.
Nel 1839 il francese Gabriel Lamé riuscì a dimostrare il caso n=7. Pochi anni dopo, il primo marzo 1847, Lamé, durante un’assemblea dell’Accademia, affermò di essere sul punto di dimostrare finalmente il Teorema. Ammise però di non avere ancora un elaborato completo, ma affermò che nelle settimane successive avrebbe pubblicato il lavoro finito sulla rivista dell’Accademia.
Lamé non fu il solo a fare un comunicato; il brillante matematico parigino Augustin Louis Cauchy annunciò che era vicino a una dimostrazione completa. Iniziò così una competizione tra i due che si concluse solamente il 24 maggio dello stesso anno, quando Joseph Liouville (1802-1882) si pronunciò sull’argomento. Liouville lesse una lettera inviata dal matematico tedesco Ernst Kummer, che sosteneva che entrambe le dimostrazioni proposte si basavano su un’argomentazione poco solida: il concetto di fattorizzazione unica.
Il concetto deriva dal Teorema Fondamentale dell’Aritmetica che afferma:
“Ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo oppure è esprimibile come prodotto di numeri primi. Questa rappresentazione è unica a meno dell’ordine dei fattori.”
Il teorema è sempre vero lavorando nell’insieme dei numeri naturali, mentre le dimostrazioni analizzate da Kummer coinvolgevano strutture numeriche più complesse, dove la fattorizzazione non necessariamente è unica. Ciò comprometteva in modo irreparabile la validità dei due lavori.
Kummer si accorse che i sistemi numerici utilizzati non godevano di alcune proprietà fondamentali e sviluppò la teoria dei numeri ideali. Il concetto di ideale venne poi utilizzato per generalizzare alcune proprietà dell’aritmetica dei numeri interi.
Ernst Eduard Kummer fu in grado di dimostrare l’Ultimo Teorema di Fermat per una vasta gamma di casi in cui l’esponente era un particolare tipo di numero primo, da lui chiamato primo regolare. La generalità del metodo usato da Kummer era limitata dalla presenza dei cosiddetti primi irregolari.
Come ha scritto Paul Hoffman nel libro L'uomo che amava solo i numeri:
"Non importa cosa siano i primi regolari; la definizione è troppo complessa e potrebbe contrastare con l’idea del grande matematico Joseph-Louis Lagrange, il quale credeva che un matematico non avesse davvero compreso il proprio lavoro fino a quando non fosse stato in grado di spiegarlo in modo così chiaro da renderlo comprensibile persino al primo passante che incontrasse per strada. In base a questo criterio, la maggior parte dei matematici dovrebbe chiudere bottega.”
Nonostante tutto il lavoro all’avanguardia sulla teoria dei numeri, sembra che Kummer avesse delle difficoltà nell’aritmetica elementare. Un aneddoto lo racconta in piedi davanti a una lavagna mentre cerca di calcolare 7 per 9. “Ah” disse Kummer alla classe “7 per 9 è… uh, è…”. Uno dei suoi studenti gridò: “61”. “Bene”, disse Kummer scrivendo 61 sulla lavagna. Un altro studente protestò dicendo: “No! È 69”. “Suvvia, signori!” rispose Kummer. “Non possono essere vere entrambe le cose. Deve essere una delle due!”
Il grande matematico ungherese Paul Erdős amava raccontare un’altra versione dello stesso episodio:
“Kummer pensò: Hmmm, il prodotto non può essere 61 perché è primo, non può essere 65 perché è multiplo di 5, 67 è ancora primo, 69 è troppo grande… rimane solo 63.”
Duecento anni dopo la famosa frase sul margine del suo libro di Diofanto, il risultato era stato dimostrato soltanto per gli esponenti 3, 4, 5, 6 e 7; ma il teorema doveva essere dimostrato per tutti i numeri interi e tutte le potenze possibili. Il problema sembrava insormontabile
All’inizio del Novecento l’Ultimo Teorema di Fermat resisteva ai tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli e l’interesse dei matematici stava gradualmente scemando. Chi lo riportò alla ribalta fu il matematico amatoriale Paul Wolfskehl. Si narra che Wolfskehl, dopo una delusione amorosa, stesse architettando meticolosamente il proprio suicidio, arrivando a programmare il giorno e l’ora esatta della sua morte. Poco prima della fatidica ora si imbatté nel lavoro di Ernst Kummer sul Teorema di Fermat e si mise a esaminarlo. Durante la lettura si trovò di fronte a una lacuna logica e cercò il modo di risolverla. Rimase sveglio fino alle prime ore del mattino, dimenticandosi del suo proposito, e arrivò perfino a stilare una dimostrazione di cui andava terribilmente fiero. La brutta notizia è che quella dimostrazione era sbagliata e che quella svista nel lavoro di Kummer era già stata corretta, ma poco importa. Quando morì, nel 1908, Wolfskehl destinò un premio di centomila marchi a chiunque fosse stato in grado di risolvere la congettura di Fermat. È curioso notare che il testamento stabiliva che il premio sarebbe andato esclusivamente a chi ne avesse dimostrato la veridicità, e non a chi ne avesse dimostrato la falsità.
Il denaro fu affidato all’Accademia delle Scienze di Gottinga. Quando si diffuse la notizia della generosa ricompensa, l’Accademia fu letteralmente travolta da migliaia di manoscritti contenenti dimostrazioni più o meno attendibili. Tra il 1909 e il 1934 il professor Edmund Landau fu incaricato della verifica di queste dimostrazioni. Si racconta che perdesse una quantità considerevole di tempo a esaminarne decine ogni giorno, tanto da decidere di stampare degli appositi biglietti sui quali era scritto:
"Egregio Signor...
Grazie per la sua dimostrazione. Il primo errore si trova alla pagina... rigo...
Questo invalida la dimostrazione.
Cordialmente,
Professor E. M. Landau." [2]
Dal Seicento, quando Fermat formulò la sua congettura, fino al Novecento la matematica si era sviluppata in numerosi campi di ricerca e aveva compiuto enormi progressi. Tra questi vi era lo studio dei problemi diofantei mediante particolari oggetti matematici chiamati curve ellittiche. Gli esperti di teoria dei numeri avevano inoltre osservato profonde connessioni tra le curve ellittiche e le forme modulari, oggetti matematici dotati di straordinarie proprietà di simmetria ed espressi mediante numeri complessi. Il motivo di questa relazione, tuttavia, era ancora del tutto oscuro e la matematica necessaria per comprenderla risultava estremamente complessa.
Nel settembre del 1955, durante il simposio di Tokyo-Nikko sulla teoria algebrica dei numeri, il matematico giapponese Yutaka Taniyama avanzò un’ipotesi tanto sorprendente quanto audace: ogni curva ellittica definita sui numeri razionali fosse collegata a una forma modulare. Dieci anni dopo, il suo amico Goro Shimura, nel frattempo rimasto profondamente segnato dalla prematura scomparsa di Taniyama, formulò una versione più precisa di questa idea. L’ipotesi divenne così nota come Congettura di Shimura-Taniyama.
Nel 1984 il matematico tedesco Gerhard Frey avanzò un’ipotesi sorprendente: se la Congettura di Shimura-Taniyama fosse stata vera, allora sarebbe stato possibile dimostrare anche l’Ultimo Teorema di Fermat. Era un intreccio straordinario: una congettura che, se dimostrata, avrebbe automaticamente dimostrato un’altra congettura rimasta irrisolta per oltre tre secoli.
Pochi anni dopo il matematico americano Kenneth Ribet dimostrò che l’idea di Frey era corretta: se la Congettura di Shimura-Taniyama fosse stata vera per una particolare classe di curve ellittiche, allora l’Ultimo Teorema di Fermat ne sarebbe derivato come conseguenza diretta.
Al mondo mancava ormai un solo tassello: dimostrare quella celebre congettura. E quell’uomo aveva un nome: Andrew Wiles.
Come lui stesso raccontò, l’Ultimo Teorema di Fermat era il suo chiodo fisso fin dall’infanzia. Quando capì che mancava soltanto una tessera del puzzle per completare la dimostrazione, abbandonò il proprio programma di ricerca e si dedicò interamente al tentativo di dimostrare la Congettura di Shimura-Taniyama nel caso necessario per il Teorema di Fermat. Si mise così al lavoro nel più assoluto segreto.
La sua prima idea fu quella di "contare" le curve ellittiche e confrontarle con quelle modulari, per dimostrare che coincidevano. Si accorse però quasi subito che il problema coinvolgeva insiemi infiniti, nei quali il concetto stesso di contare perdeva significato. Dopo due anni senza risultati tentò un nuovo approccio basato sulle rappresentazioni di Galois. Anche questa strada si rivelò estremamente difficile e, dopo un altro anno di lavoro, Wiles si trovò nuovamente bloccato.
Nel gennaio del 1993, dopo sei anni di lavoro completamente isolato, decise finalmente di confidarsi con il collega e amico Nick Katz, che mantenne il segreto. Per non destare sospetti organizzarono un corso intitolato Calcoli con curve ellittiche, nel quale Katz figurava come semplice "studente". I veri studenti finirono inconsapevolmente per mettere alla prova alcune parti della dimostrazione, ma dopo poche settimane quasi tutti abbandonarono il corso, scoraggiati dall'estrema difficoltà degli argomenti.
Nel maggio del 1993 sembrava ormai tutto pronto. Wiles aveva completato una dimostrazione di circa duecento pagine ed era pronto a presentarla durante un congresso a Cambridge. Il suo intervento era suddiviso in tre lezioni, una al giorno. Il titolo era Forme modulari, curve ellittiche e rappresentazioni di Galois: nessun riferimento al Teorema di Fermat.
Il primo giorno solo una ventina di specialisti seguirono la conferenza; il secondo giorno il numero aumentò; il terzo giorno, mercoledì 23 giugno 1993, l'aula era gremita e Wiles dovette farsi largo tra la folla. Dopo aver riempito la lavagna di formule e costruzioni matematiche quasi incomprensibili ai non specialisti, scrisse finalmente un'equazione familiare da oltre tre secoli e concluse:
"Così, questo dimostra l’Ultimo Teorema di Fermat. Penso che mi fermerò qui."
La platea esplose in un lungo applauso.
Il lavoro, però, era tutt'altro che concluso. Una commissione di esperti doveva verificare riga per riga le duecento pagine della dimostrazione, e tra questi vi era anche Nick Katz. Quest'ultimo comunicava a Wiles, tramite posta elettronica, uno o due problemi al giorno, ai quali il matematico riusciva quasi sempre a rispondere in modo convincente. Quasi. A un certo punto emerse un passaggio poco chiaro. Wiles cercò di correggerlo e giustificarlo, ma non ci riuscì: nella dimostrazione c'era davvero un errore.
Andrew Wiles tornò a Princeton, dove insegnava, nell'autunno del 1993, profondamente deluso. Dopo quasi un anno senza alcun progresso era ormai deciso ad abbandonare definitivamente il problema. Ma, quando tutto sembrava perduto, ebbe un'intuizione decisiva: trovò finalmente il modo di colmare la lacuna. Riscrisse la dimostrazione seguendo il nuovo approccio e, nel giro di poche settimane, i colleghi confermarono che era finalmente priva di errori.
Dopo oltre trecentocinquant'anni, l'Ultimo Teorema di Fermat era stato finalmente dimostrato.
Una frase che racchiude bene lo spirito di Wiles e che apre un documentario dedicato alla sua impresa è:
"La mia esperienza con la matematica è quella di un uomo che entra in una stanza buia: all'inizio non sa come muoversi; poi, piano piano, comincia a trovare dei punti di riferimento per potersi orientare; infine, dopo sei mesi, trova l'interruttore della luce e tutto appare nitidamente al proprio posto."
Note:
[1] Amir Aczel- L’enigma di Femat. La soluzione di un giallo matematico durato più di tre secoli. IlSaggiatore. Tascabile. Traduzione di Gianni Rigamonti.
[2] Simon Singh- L’ultimo Teorema di Fermat. BUR Saggi, Rizzoli. Traduzione di Carlo Capararo e Brunello Lotti
[3] https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Germain/
