A cura di Riccardo Giustozzi
“La madre dell’algebra moderna” è il titolo che il matematico Irving Kaplansky conferì nel 1973 a Emmy Noether[1]. Se è pur vero che Noether rimase durante l’arco della sua carriera una matematica pura, i fisici oggi fanno uso del suo celebre teorema che dimostra la relazione fondamentale che esiste tra simmetrie e leggi di conservazione. In fisica le simmetrie rivestono un ruolo cruciale perché aiutano, oltre che a semplificare i problemi (dote di per sé già indispensabile), a capire come funzionano le leggi della natura che regolano l’universo. Steven Weinberg, Premio Nobel per la fisica e autore di alcuni tra i più autorevoli volumi sulla teoria quantistica dei campi, sulla relatività e cosmologia, ha scritto nell’articolo Symmetry: a “Key to Nature’s Secrets” per il The New York Review[2]:
“Quando ho iniziato a fare ricerca alla fine degli anni Cinquanta, la fisica mi sembrava in uno stato desolante. Un decennio prima c’era stato un grande successo con l’elettrodinamica quantistica (la teoria degli elettroni, della luce e della loro interazione). Ma ora dovevamo confrontarci con le particelle appena scoperte, muoni e dozzine di tipi di mesoni e barioni. E abbiamo avuto a che fare con forze misteriose: le forze nucleari forti, che tengono insieme le particelle all’interno dei nuclei atomici, e le forze nucleari deboli che possono cambiare la natura di queste particelle. Non avevamo una teoria che descrivesse queste particelle e queste forze, e quando abbiamo tentato una possibile teoria, abbiamo scoperto che o non potevamo calcolarne le conseguenze, o quando ci riuscivamo, arrivavamo a risultati insensati, come energie infinite o probabilità infinite. La natura sembrava intenzionata a nasconderci il suo piano. Allo stesso tempo, avevamo una chiave preziosa per capire i segreti della natura. Le sue leggi obbedivano evidentemente a certi principi di simmetria, le cui conseguenze potevamo elaborare e osservare con l’osservazione. Era come avere una spia nell’alto comando del nemico.”
Hermann Weyl, una vera e propria autorità nel campo della fisica della matematica, ha dedicato un intero libro alla simmetria dove ha scritto[3]:
“A mio avviso, tutte le affermazioni a priori in fisica derivano dalla simmetria.”
Un ulteriore esempio chiarificatore su quanto sia importante il concetto di simmetria in fisica è dato da un lavoro di Pierre Curie del 1894[4] dove sfruttò queste proprietà per la risoluzione di problemi nei mezzi cristallini:
“I fisici usano spesso condizioni che derivano dalla simmetria ma, di regola, trascurano di definire la simmetria in maniera rigorosa poiché tali condizioni sono semplici e quasi ovvie a priori.”
È all’interno di questo quadro concettuale che, nel 1918, Noether pubblicò il suo articolo Invariante variationsprobleme destinato a diventare una pietra miliare, purtroppo, solo nei decenni successivi la sua morte. Qui dimostrò un risultato che oggi è ampiamente usato e che viene introdotto in tutti i manuali universitari: la quasi totalità dei libri, che spaziano dalla meccanica classica alla teoria quantistica dei campi, ha una sezione che si intitola “Teorema di Noether”. Qualitativamente, questo spiega che, se la descrizione matematica del sistema non cambia dopo una trasformazione delle variabili che lo descrivono, esistono quantità che si conservano e che sono, cioè, costanti nel tempo. Un esempio di capitale importanza è quello della conservazione dell’energia che è dovuta a invarianze sotto traslazioni temporali. Ma, come affronta Nina Byers in [4], a quei tempi il risultato non venne praticamente quasi mai citato perché, forse, non completamente compreso e collegato ai risultati raggiunti da altri fisici e matematici. Infatti, Eugene Wigner, vincitore del Nobel per la fisica per i suoi lavori sulla simmetria, scrisse nel 1972[5]:
“Noi fisici elogiamo con parole vuote i grandi risultati di Emmy Noether, ma in realtà non utilizziamo il suo lavoro. Il suo contributo alla fisica, che viene spesso citato, è nato da un suggerimento di Felix Klein. Riguarda le leggi di conservazione, che lei derivò in modo innovativo e che avrebbe dovuto entusiasmare i fisici più di quanto non abbia fatto. Tuttavia, la maggior parte dei fisici conosce poco altro di lei.”
Nata il 23 marzo del 1882 in una piccola cittadina della Baviera, Erlangen, che aveva dato i natali quasi un secolo prima a Georg Ohm, Emmy era la primogenita di una famiglia geniale ma dai destini avversi. Il padre, Max Noether, era un illustre matematico specializzato in geometria algebrica e professore all'Università di Erlangen. Il fratello minore, Alfred, più piccolo di un solo anno, diventò un chimico ma morì in giovane età mentre Fritz, il terzo dei quattro figli, diventò anche egli un matematico ma dopo essere emigrato dalla Germania Nazista all'Unione Sovietica, fu fucilato dalla NKVD per attività antisovietiche (venne dichiarato innocente dalla Corte Suprema dell’URSS solamente nel 1988). Poco si sa dell'ultimo fratello, Gustav Robert, che soffrì di continue malattie per tutto il resto della vita.
Dopo aver frequentato una scuola statale femminile, superò gli esami che le consentivano di insegnare inglese e francese nelle scuole femminili bavaresi. Decise, poi, di intraprendere il difficile percorso, per una donna di quel tempo, di studiare matematica all’università. Non era permesso, infatti, alle donne di iscriversi in maniera ufficiale nelle università tedesche, ma i professori potevano dare permessi per seguire i loro corsi. Noether fu una delle uniche due studentesse accettate come uditrici all’università di Erlangen; qui rimase a seguire le lezioni di matematica e storia dal 1900 al 1903. Passò poi un semestre all’università di Gottinga dove frequentò le lezioni di alcuni tra i più eminenti matematici dell’epoca, per citarne solo alcuni: Karl Schwarzschild, Hermann Minkowski, Felix Klein e David Hilbert. Nel 1904 le regole cambiarono e Noether sostenne gli esami di ammissione, immatricolandosi ufficialmente alla facoltà di matematica di Erlangen. Conseguì il dottorato con lode nel 1907 con una tesi sulla teoria degli invarianti, preparata sotto la guida di Paul Gordan che era conosciuto dai suoi contemporanei come “il re degli invarianti”[6] (e a noi oggi anche per i coefficienti di Clebsch-Gordan usata per passare da una base all’altra quando si compongono i momenti angolati in meccanica quantistica) . Lo stile in questo lavoro, che si distacca molto da quelli che caratterizzeranno i successivi articoli di Noether, è basato su un approccio alternativo rispetto a quello di Hilbert per un risultato sugli invarianti. Come scrive Colin McLarty[7]:
“Nella sua tesi di laurea con Gordan, Noether ha portato avanti un enorme calcolo che aveva lasciato perplesso Gordan quarant’anni prima e che nemmeno lei era riuscita a completare. Per quanto ne so, nessuno l’hai mai completato o controllato fino in fondo. Era un calcolo antiquato anche per l’epoca”.
Sembra che Noether sia stata la seconda donna a completare un dottorato in matematica in Europa, dopo Sof'ja Kovalevskaja che lo ottenne nel 1874 a Gottinga sotto la supervisione di Karl Weierstrass. Dopo il conseguimento del titolo, lavorò nello stesso istituto per ben otto anni senza percepire alcun stipendio. Nel frattempo, il numero e la qualità dei lavori iniziarono ad accrescere la sua fama e il primo riconoscimento provenne proprio dall’Italia, dove nel 1908 venne eletta membro del Circolo Matematico di Palermo. L’anno successivo fu invitata a parlare (unica donna) al Congresso annuale della Deutsche Mathematiker-Vereinigung, l'associazione dei matematici tedeschi, dove venne eletta membro subito dopo. Nel 1915, David Hilbert e Felix Klein si erano interessati alla fisica e a idee molto vicine a quelle della teoria della Relatività di Einstein. Decisero di chiamare Noether a Gottinga, che intanto era diventato il centro mondiale della matematica, in qualità di specialista di teoria degli invarianti. Quello che ottenne fu il tanto citato teorema che porta il suo nome. Nella formulazione un po’ più dettagliata, ella dimostrò che ad ogni trasformazione infinitesima del gruppo di Lorentz corrisponde una quantità (detta carica di Noether) che si conserva, arrivando a un risultato fondamentale nella teoria della relatività. Fu lo stesso Einstein che elogiò il suo lavoro in una lettera spedita a Hilbert nel maggio del 1918[8]:
“Ieri ho ricevuto un articolo molto interessante della Froilan Noether sulla formulazione degli invarianti. Mi colpisce che queste cose possano essere esaminate da un punto di vista così generale. Non sarebbe stato male se la vecchia guardia di Gottinfa fosse stata mandata alla scuola della Noether. Sembra che conosca bene il suo mestiere!”
Nel 1915 Hilbert cercò di far ottenere l’abilitazione all’insegnamento a Noether. Dopo interminabili discussioni e forti controversie, Il tentativo fallì per l’opposizione del dipartimento di Filologia e Storia. L’aneddotica (confermata da alcune fonti e smentita parzialmente da altre[9]) racconta che Hilbert si infervorò e si lasciò andare dicendo:
“Non vedo come il sesso del candidato sia rilevante per la sua ammissione come Privatdozent. Del resto siamo in una università e non in una sauna!”
I matematici di Gottinga, nel 1917, riportarono sotto i riflettori il caso dell’abilitazione scrivendo direttamente al Ministero, sottolineando la loro preoccupazione che, se Gottinga avesse rifiutato, la Noether avrebbe accettato una posizione a Francoforte. La replica del Ministero dell’Educazione fu[10]:
“Per quanto riguarda l’ammissione delle donne all’insegnamento, le norme dell’Università di Francoforte sono identiche a quelle di tutte le altre: le donne non possono essere nominate dai docenti esterni. È assolutamente impossibile fare un’eccezione alla regola in un’università. Pertanto, la preoccupazione che la Noether se ne vada, si trasferisca a Francoforte e riceva un incarico lì è del tutto infondata: non le sarà dato il diritto di insegnare lì, come non lo riceverà a Gottinga o in qualsiasi altra università.”
Con l’istaurazione della Repubblica di Weimar dopo la Seconda Guerra Mondiale ci furono diverse riforme e l’abilitazione le fu concessa nel 1919 e le sue lezioni attirarono l’interesse di studenti da tutte le parti della Germania. Dal 1920 in poi Noether spostò i propri interessi dalla teoria degli invarianti alla teoria degli ideali (una particolare struttura algebrica), producendo una teoria che avrebbe contribuito in modo decisivo a fare degli anelli uno dei temi centrali dell’algebra e della matematica. Il suo contributo all’algebra è troppo grande da poter spiegare in pochi passaggi e ci rifacciamo alle parole di due grandi matematici del passato. Il primo, Pavel Aleksandrov, fondatore della scuola di Topologia di Mosca, che con lei strinse un rapporto di fedele amicizia disse[11]:
“Quando parliamo di Emmy Noether come matematica ci riferiamo al periodo che inizia intorno al 1920, quando si aprì la strada verso un nuovo tipo di algebra. È stata lei a insegnarci a pensare in termini di concetti algebrici semplici e alcuni degli oggetti che lei ha introdotto sono entrati nella pratica quotidiana di una vasta gamma di discipline matematiche.”
Il secondo è di Michael Michael Atiyah, uno dei più grandi matematici del XX secolo, che ha detto[12]:
“La matematica moderna, in tutti i suoi rami, è stata influenzata da un uso più ambizioso dell’algebra. Negli ultimi anni questo è risultato essere vero anche nel campo della fisica teorica. I gruppi di Lie, le regole di commutazione, la supersimmetria, la coomologia e la teoria delle rappresentazioni sono ampiamente utilizzati nei modelli teorici della fisica delle particelle. La fiducia di Emmy Noether nel potere dell’algebra astratta è stata ampiamente premiata.”
Nell’aprile del 1933 i nazisti la licenziarono da Gottinga perché ebrea e decise di salpare per gli Stati Uniti, accettando un incarico al Bryn Mawr College. Morì improvvisamente a seguito di un’infezione contratta durante un’operazione chirurgica nel 1935:
Einstein, nel necrologio apparso nel The New York Times il 3 maggio[13]:
“Noether è stato il più grande genio creativo della matematica da quando le donne hanno avuto accesso all'istruzione superiore. Nel campo dell'algebra, in cui i matematici più dotati sono stati impegnati per secoli, ha scoperto metodi che si sono rivelati di enorme importanza per lo sviluppo delle giovani generazioni di matematici di oggi. La matematica pura è, a suo modo, la poesia delle idee logiche. Si cercano le idee più generali di funzionamento che riuniscano in modo semplice e logico più relazioni formali possibili. In questo sforzo, verso la bellezza logica, si scoprono formule e metodi necessarie per la penetrazione più profonda delle leggi della natura.”
Note:
[1] E. Strickland Emmy Amalie Noether, la donna che stupì Einstein. Matematica, Cultura e Società- Rivista dell’Unione Matematica Italiana (Serie I, Vol. 2, N.1, Aprile 2018, 61-69)
[2] https://www.nybooks.com/articles/2011/10/27/symmetry-key-natures-secrets/
[3] P. Curie Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d’un champ électrique et d’un champ magnétique J. Phys. Theor. Appl., 1894, 3 (1), pp.393-415
[4] N. Byers The Life and Times of Emmy Noether. Contributions of Emmy Noether to Particle Physics arXiv:hep-th/9411110v2 23, Nov. 1994
[5] Citato in:
-R. Arianrhod The Evolution of an idea book review of The Noether Theorems: Invariance and Conservation Laws in the Twentieth Century di Yvette Kosmann-Schwarzbach in Notices of the American Mathematical Society (agosto 2013)
-C.H. Kimberling Emmy Noether The American Mathematical Monthly , Feb., 1972, Vol. 79, No. 2 (Feb., 1972), pp. 136-149
[6] C.H Kimberling Emmy Noether, Greatest Woman Mathematician Mathematics Teacher, March 1982, Volume 84, Number 3, pp. 246–249.
[7] Biografia di Emmy Amalie Noether in MacTutor History of Mathematics https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Noether_Emmy/
[8] Einstein Collected paper https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8b-doc/214
[9] L’aneddoto trova riscontro positivo in C.H. Kimberling e N. Byers. Mentre è riportato sottolineando che non è mai stata dimostrata la veridicità da Auguste Dick Emmy Noether 1882-1935 (tradotto da H.I. Blocher,1981)
[10] C. Quigg Colloquium: A Century of Noether’s Theorem ; arXiv:1902.01989v2 [physics.hist-ph]
[11] Auguste Dick Emmy Noether 1882-1935 (tradotto da H.I. Blocher, 1981)
[12] N. Byers The Life and Times of Emmy Noether. Contributions of Emmy Noether to Particle Physics arXiv:hep-th/9411110v2 23, Nov. 1994
[13] C.H Kimberling Emmy Noether, Greatest Woman Mathematician Mathematics Teacher, March 1982, Volume 84, Number 3, pp. 246–249.
